cha chaos_c

Einbettung in fächerübergreifende Anwendungsfelder mit speziellen, kommentierten Literaturhinweisen

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Behandlung von Umwelt -, Klima -und Ökologieproblemen (Leitlinie: Umwelt und globale Verantwortung) mit Hilfe von Textbeiträgen, Aufsätzen, Demo-Software für den PC, Videofilmen(vgl. insbesondere Vf (1), (2) usw.).

Die Auswahl der Beiträge sollte möglichst aktuell sein; insofern wird auf eine besonders detaillierte Angabe von Literatur -und Fundstellen verzichtet. Sinnvoll ist auch eine Einbettung an anderer Stelle der Unterrichtseinheit oder eine unterrichtsimmanente Einbringung in den laufenden Unterricht. Ideal wäre weiterhin die Verknüpfung dieser Unterrichtseinheit mit den Unterrichtsinhalten anderer Fächer als Beitrag zum fächerübergreifenden Unterricht.

Als erste Hilfe zum Einstieg in fächerübergreifende Problemstellungen werden Angaben und Kommentare zu speziell ausgewählten Literaturstellen gemacht, die dem interessierten Lehrer - egal welches Fach er unterrichtet -den Einstieg in fächerübergreifende Aspekte linearer und nichtlinearer Dynamik erleichtern können.

 

Aufteilung der Literaturstellen:

A) Allgemeinverständliche Literatur zu allen Aspekten der Chaostheorie in Physik, Biologie, Ökologie, Chemie etc.

B) Aspekte der Modellierung und Simulation Dynamischer Systeme(Biologie / Chemie / Physik / etc.)

C) Literaturhinweise zum Problemfeld Umwelt und globale Verantwortung

Hinweis: Geht ein Lehrer auf die vielen, sich anbietenden fächerübergreifenden Aspekte in B) und C) erschöpfend ein, so wird der anvisierte Zeitrahmen der Unterrichtsreihe natürlich weit überschritten.

Literaturverzeichnis(Lvz)

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(1) Ekeland, I.: Das Vorhersagbare und das Unvohersagbare - Die Bedeutung der Zeit von der Himmelsmechanik bis zur Katastrophentheorie, Frankfurt/Main-Berlin 1989; Ullstein

(2) Hofstadter, D.: Metamagicum - Fragen nach der Essenz von Geist und Struktur; Klett-Cotta 1988;
"Mathematisches Chaos und seltsame Attraktoren"; ab S. 383

(3) Lergenmüller, A.: Rekursionen, ein anwendungsorientierter Einstieg in die Analysis; in: Der Mathematikunterricht; 4/1988(Computer im Mathematikunterricht)

(4) Lergenmüller, A.: Chaos im Grund -und Leistungskurs; unveröffentlichtes Manuskript 1995

(5) Peitgen/ Jürgens/ Saupe: Chaos - Bausteine der Ordnung; Klett - Cotta, Springer-Verlag; 1994

(6) Peitgen/ Jürgens/ Saupe/ Maletsky/ Perciante/ Yunker: Chaos - Iteration, Sensitivität, Mandelbrotmenge; Ein Arbeitsbuch; Klett - Schulbuchverlag; 1992

(7) Reinartz, E.: Ordnung, Chaos und Fraktale; Materialien für den Mathematikunterricht in der Sek II; Unesco-Projekt 1989/1990; Manuskript des Luisen-Gymnasiums Düsseldorf 1990/1991

(8) Reinartz, E.: Graphische Parabeliteration und logistische Wachstumsdynamik; Ein Projekt im Grundkurs 11.1 Mathematik des Luisen - Gymnasiums Düsseldorf 1994

(9) Reinartz, E.: Vom Erdgipfel und vom Chaos; in: Zeitschrift FORUM der Unesco - Projektschulen, Heft 1/93, S. 11 - 12

(10) Reinartz, E.: Vernetztes Denken und Chaostheorie; in: UNESCO macht Schule in NRW(UMS), Sonderheft Juni 1993, 11 Seiten

(11) Reinartz, E.: Wissen wir eigentlich, was wir tun?; in: Zeitschrift FORUM der Unesco - Projektschulen, Heft 3/95, S. 14 - 17

(12) Reinartz, E.: Von Mandelbroten und Feigenbäumen - Mathematik zwischen Ordnung und Chaos; in: Festschrift zur 100 - Jahr - Feier des Leibniz -Gymnasiums in Düsseldorf; 1996, S. 152 - 161

(13) Walser/ Wedekind/ Klüser: Modellbildung und Simulation dynamischer Systeme; Deutsches Institut für Fernstudien an der Universität Tübingen; 1991

(14) Sternemann, W.: Leistungskurs Diskrete Dynamik - Materialien zu einem Unterrichtsversuch im Mathematik-Leistungskurs der Jahrgangsstufe 13 am Gymnasium Canisianum Lüdinghausen; Landesinstitut für Schule und Weiterbildung, Soest; Werkstattbericht 11 der Beratungsstelle für Neue Technologien, 1995

Software(Sw)

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(1) MBS - LLC; Modellbildung und Simulation dynamischer Systeme; Deutsches Institut für Fernstudien an der Universität Tübingen 1991; MS-DOS-Version

(2) FIGWIN; Windows-Version 1.1 von Ulrich Schwebinghaus; 42369 Wuppertal, 1996

(3) FRACTINT; MS-DOS-Version 15.1 von Bert Tyler und anderen; 1990

 

Video - Filme

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(1) WDR - Sendung über "Chaos"; 1991

(2) Chaos, Ordnung und assoziatives Gedächtnis; Spektrum der Wissenschaft, Videothek, 1993

 

Glossar zum Chaos

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Chaos/ Deterministisches Chaos

Eine allgemeine Definition für Chaos, die sich auf die Mehrzahl aller interessanten Fälle anwenden läßt, existiert noch nicht. Übereinstimmung herrscht bei den Mathematikern aber darüber, daß drei Eigenschaften für Chaos kennzeichnend sind: Sensitivität, Periodizität und Mischen(Lvz (5), S. 72).

 

Dynamisches System

Alle Systeme, die ein zeitabhängiges Verhalten zeigen, d.h. deren Entwicklung von der Zeit als unabhängiger Variablen abhängt, bezeichnen wir als dynamische Systeme. Ihr Verhalten kann in Zeitdiagrammen als Zeitreihe dargestellt werden, d.h. die charakteristischen Größen werden gegen die Zeit aufgetragen. An der Zeitreihe lassen sich dann typische Entwicklungsweisen ablesen wie Wachsen, Vergehen, Schwanken, Stabilisieren usw.(u.a. Lvz (13), S. 16).

 

Feigenbaumdiagramm/ Feigenbaumbifurkation/ Feigenbaumszenario/ Feigenbaumkonstante

Das Feigenbaumdiagramm ist nach dem amerikanischen Physiker Mitchell J. Feigenbaum benannt(Entdeckung ungefähr Mitte der siebziger Jahre). In ihm wird z.B. das Endverhalten des logistischen Wachstumssystems in Abhängigkeit vom variierenden Steuerparameter r betrachtet. So geht bei größer werdendem r der Fixpunktattraktor plötzlich an einer bestimmten Übergangsstelle in einen Grenzzyklusattraktor der Periode 2 über(Verzweigungspunkt bzw. Bifurkationspunkt); dann gabelt er sich in einen der Periode 4, dann 8, 16 usw..An einer bestimmten Übergangsstelle von r existiert keine endliche Periode mehr, das System befindet sich jetzt im chaotischen Bereich(abgesehen von periodischen Fenstern). Die Längen zwischen den Übergangsstellen rn, rn+1 schrumpfen bei größer werdendem r nach einem bestimmten Faktor, der sog. Feigenbaumkonstanten d . Es gilt:

d » (rn - rn-1) / (rn+1 - rn) und dieser Wert wird für größer werdende Indexzahl n schnell immer genauer (d » 4,6692...). Diese Konstante ist nach Feigenbaum universell; sie tritt nicht nur bei der logistischen Wachstumsgleichung auf sondern auch bei einer Vielzahl anderer Iterationen. Man findet sie aber auch in physikalischen Experimenten, von elektronischen Schaltungen bis zur Turbulenz. Die Feigenbaumkonstante d scheint von ähnlich großer Bedeutung zu sein wie die Zahle p oder die Eulersche Zahl e in der Mathematik. Den gesamten Vorgang der sich ständig periodenverdoppelnden Bifurkationen nennt man häufig auch Feigenbaumszenario.

 

Fixpunktattraktor(anziehender Fixpunkt)/ Grenzzyklusattraktor/ Chaotischer (seltsamer) Attraktor/ repulsiver(abstoßender) Fixpunkt bzw. Repeller

Vereinfacht ausgedrückt sind Attraktoren alles, worauf sich der Zustand eines Systems zubewegt oder wovon das System angezogen wird. Drückt man die logistische Wachstumsdynamik durch eine Iterationsformel aus, so ist ein Fixpunktattraktor ein Wert xn,, der sich durch wiederholtes Iterieren nicht mehr verändert. Entsprechend pendeln bei einem Grenzzyklusattraktor mit bestimmter Periode die Iterationswerte letztendlich entsprechend der Periodenlänge hin und her. Beim chaotischen Attraktor bewegen sich die Iterationswerte von Beginn an ohne erkennbare Periode völlig ziel -und regellos hin und her. Ein Repeller ist im Falle eines Grenzzyklusattraktors der theoretische Fixpunkt(beim graphischen Iterationsverfahren z.B. der Schnittpunkt der Geraden y = x mit der Parabel), auf den das System nicht zulaufen kann.

 

Graphische Iteration

Die graphische Iteration ist ein denkbar einfaches graphisches Verfahren, um die rechnerische Iteration mit Hilfe der sog. reflektierenden Geraden y = x , des Graphen, der aus der Iterationsformel abzulesenden Iterationsfunktion und dem Zeichnen von waagerechten und senkrechten Strecken, zu veranschaulichen(erst eine senkrechte Strecke zum Graphen der Funktion, von dort waagerecht zur Geraden y = x und dann zurück zum Graphen der Funktion und so fort). Sie ist ein außerordentlich wichtiges Hilfsmittel (vor allem für die Schule), weil sie auf einfache Art eine Reihe von Einsichten und Zusammenhängen über Attraktoren, Periodizität, Sensitivittät, Mischen, Deterministisches Chaos usw. vermittelt, die sonst nur schwer zu gewinnen sind.

 

Iteration

Die Iteration ist die wiederholte Anwendung einer Rechenvorschrift, wobei jedes Ergebnis der Rechnung wiederum als Ausgangswert dient; man kann sie auch als Rückkopplung bezeichnen. Ein einfaches Iterationsbeispiel für den Taschenrechner: Man ziehe die Quadratwurzel aus einer positiven Zahl und benutze das Ergebnis als Eingabe für die nächste Wurzel usw.. Man drückt also immer nur die Wurzeltaste des Taschenrechners.

 

Lineare Dynamik/ Nichtlineare Dynamik/ Sensitivität/ Fehlerexpansion, Fehlerkompression

Linearität und Nichtlinearität kennzeichnen den mathematischen Gleichungstyp. Aufgrund der potentiell verwirrend komplexen Dynamik nichtlinearer Gleichungen kann in nichtlinearen Systemen das Prinzip, daß ähnliche Ursachen ähnliche Wirkungen haben(starke Kausalität), das in linearen Systemen gültig ist, völlig aufgehoben sein. Winzige Unterschiede in den Anfangsbedingungen führen dann zu völlig unterschiedlichen Systemwerten. Diese Sensitivität hat zur Folge, daß die Systemwerte trotz deterministischer Modellierung nicht mehr vorhersagbar(berechenbar) sind. Das bedeutet insbesondere, daß winzige Ausgangsfehlerintervalle stark expandieren. Da diese Expansion aber nicht beliebig groß werden kann, müssen die Fehlerintervalle irgendwann wieder komprimiert werden; es findet ein ständiger Wechsel von Expansion und Kompression statt. Im Fall von Fixpunkt -und Grenzzyklusattraktoren findet immer nur Fehlerkompression statt.

 

Logistische Wachstumsgleichung/ logistisches Wachstum/ logistische Wachstumsparabel

Standardform der logistischen Wachstumsgleichung ist:

xn+1 = r xn (1 - xn) = r xn - r xn2;
0 < xn < 1; 0 < r £ 4; nÎ N ;
0 < r < 3 : Ordnung
3 £ r < 3,56999 : Feigenbaumszenario
r ³ 3,56999 : Chaos .
 

Standardform der logistischen Wachstumsparabel ist:

fr (x) = r x (1 - x) = r x - r x2 = - r (x - 0,5)2 + 0,25 r (Scheitelpunktform);
0 £ x £ 1; 0 £ r £ 4 .

 

Mischen

Für je zwei offene beliebig kleine Intervalle I und J kann man Anfangswerte in I finden, die durrch Iteration nach J gelangen(Lvz (4), S. 43).

 

Periodische Fenster

Das sind die hellen Bereiche im Feigenbaumdiagramm, die umgeben vom chaotischen Bereich, "Inseln der Ordnung und Stabilität" darstellen. Am breitesten ist das Fenster mit einem Grenzzyklusattraktor der Periode 3.

 

Periodizität

Punkte sind periodisch, wenn sie unter Iteration in zyklischer Anordnung ständig wiederkehren. Periodische Punkte finden sich überall, d.h. es gibt sie in den kleinsten Teilintervallen von [ 0;1] (Lvz (6), S. 52).

 

Simulation

Simulation ist das zielgerichtete Arbeiten mit dem Modell eines Systems unter Zuhilfenahme eines Computers. Dabei wird das mathematische oder formallogische Modell als Algorithmus formuliert und in einer Programmiersprache kodiert(Lvz (13)).

 

Zeitreihe

vgl. Dynamische Systeme;

Vorschlag zur Stoffaufteilung für eine Unterrichtsreihe von ca. 18/19 Unterrichtsstunden

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In diesem Abschnitt wird eine Stundenreihung für eine Unterrichtsreihe im Umfang von 18 bis 19 Stunden vorgeschlagen, die auf eigenen Unterrichtserfahrungen beruht. Der Vorschlag enthält genügend Möglichkeiten, diese Unterrichtsreihe um etwa 5/6 Unterrichtsstunden zu kürzen oder mit geringem Aufwand zu erweitern(z.B. Vertiefungen zum Feigenbaumdiagramm, zur Fehlerexpansion -und Kompression , zu praktischen Anwendungen und fächerübergreifenden Stoffvertiefungen (natürlich bei Überschreitung des vorgesehenen Zeitrahmens).

 
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zum Teil D. Abstract für englischsprachige Interessenten